Кривата на брахистохрона: 18 стъпки (със снимки)

2024 Автор: John Day | [email protected]. Последно модифициран: 2024-01-30 07:51

Кривата на брахистохрона е класически физически проблем, който извежда най -бързия път между две точки А и В, които са на различни височини. Въпреки че този проблем може да изглежда прост, той предлага контраинтуитивен резултат и затова е очарователен за гледане. В тези инструкции човек ще научи за теоретичния проблем, ще разработи решението и накрая ще изгради модел, който демонстрира свойствата на този невероятен принцип на физиката.

Този проект е предназначен за ученици от гимназията, тъй като те обхващат свързани понятия в часовете по теория. Този практически проект не само засилва разбирането им по темата, но също така предлага синтез на няколко други области, които трябва да се развият. Например, докато изграждат модела, студентите ще научат за оптиката чрез закона на Снел, компютърно програмиране, 3D моделиране, дигитално разглобяване и основни умения за дървообработване. Това позволява на цял клас да допринесе за разделянето на работата помежду си, което го прави екипно усилие. Времето, необходимо за изработването на този проект, е около седмица и след това може да бъде демонстрирано на класа или на по -малките ученици.

Няма по -добър начин да се научите от STEM, така че продължете, за да направите свой собствен работещ модел брахистохрон. Ако проектът ви харесва, гласувайте за него в конкурса за класната стая.

Стъпка 1: Теоретичен проблем

Проблемът с брахистохрона е този, който се върти около намирането на крива, която свързва две точки A и B, които са на различни височини, така че B не е директно под A, така че пускането на мрамор под въздействието на еднородно гравитационно поле по този път ще достигнете до B възможно най -бързо. Проблемът е поставен от Йохан Бернули през 1696 г.

Когато Йохан Бернули зададе проблема на брахистохрона, на юни 1696 г., на читателите на Acta Eruditorum, което беше едно от първите научни списания в немскоговорящите земи на Европа, той получи отговори от 5 математици: Исак Нютон, Якоб Бернули, Gottfried Leibniz, Ehrenfried Walther von Tschirnhaus и Guillaume de l'Hôpital, всеки с уникални подходи!

Предупреждение: следващите стъпки съдържат отговора и разкриват красотата зад този най -бърз път. Отделете малко време, за да се опитате да помислите за този проблем, може би бихте могли да го пропуснете точно като един от тези пет гении.

Стъпка 2: Използване на закона на Снел за демонстрация

Един от подходите за решаване на брахистохроновия проблем е да се преодолее проблема, като се направят аналогии със закона на Снел. Законът на Снел се използва за описване на пътя, който лъч светлина ще следва, за да премине от една точка в друга, докато преминава през две различни среди, като използва принципа на Ферма, който казва, че лъч светлина винаги ще поеме по най -бързия път. Официално извеждане на това уравнение можете да намерите, като посетите следната връзка.

Тъй като свободно падащ обект под въздействието на гравитационното поле може да бъде сравнен с лъч светлина, преминаващ през променяща се среда, всеки път, когато светлинният лъч срещне нова среда, лъчът леко се отклонява. Ъгълът на това отклонение може да се изчисли с помощта на закона на Снел. Тъй като човек продължава да добавя слоеве с намаляваща плътност пред отклонения сноп светлина, докато лъчът достигне критичния ъгъл, където лъчът просто се отразява, траекторията на лъча описва брахистохроновата крива. (червената крива на диаграмата по -горе)

Кривата на брахистохрона всъщност е циклоида, която е кривата, проследена от точка на ръба на кръгло колело, докато колелото се търкаля по права линия, без да се плъзга. Така че, ако трябва да начертаем кривата, можем просто да използваме горния метод, за да я генерираме. Друго уникално свойство на кривата е, че топка, освободена от всяка точка на кривата, ще отнеме точно същото време, за да достигне дъното. Следващите стъпки описват процеса на извършване на експеримент в класната стая чрез конструиране на модел.

Стъпка 3: Модел на практически експеримент

Моделът се състои от лазерно изрязани пътеки, които действат като следи за мраморите. За да демонстрираме, че брахистохроновата крива е най -бързият път от точка А до В, решихме да я сравним с две други пътеки. Тъй като доста хора интуитивно биха почувствали, че най -късата част е най -бързата, решихме да поставим прав наклон, свързващ двете точки като втори път. Третият е стръмна крива, тъй като човек би почувствал, че внезапният спад ще генерира достатъчно скорост, за да победи останалите.

Вторият експеримент, при който топките се освобождават от различни височини по три брахистохронови пътеки, води до това, че топките достигат едновременно. По този начин нашият модел разполага с 3D отпечатани водачи, които осигуряват лесна взаимозаменяемост между акрилните панели, което позволява провеждането на двата експеримента.

Накрая механизмът за освобождаване гарантира, че топките се спускат заедно и модулът за синхронизиране в долната част записва времето, когато топките достигнат дъното. За да постигнем това, имаме вградени три крайни превключвателя, които се активират, когато топките го задействат.

Забележка: Човек може просто да копира този дизайн и да го направи от картон или други материали, които са лесно достъпни

Стъпка 4: Необходими материали

Ето частите и консумативите, за да направите работещ модел на брахистохроновия експеримент

Хардуер:

1 "Дървена дъска от бор - размери; 100см на 10см

Неодимов магнит 4 - размери; 1 см диаметър и 0,5 см височина

3D печатни нишки- PLA или ABS са добре

M3 резбована вложка x 8 - (по избор)

M3 болт x 8 - 2,5 см дълъг

Винт за дърво с дължина 3 - 6 см

Дървен винт с дължина 12 - 2,5 см

ЕЛЕКТРОНИКА:

Arduino Uno

Limit Switchx 4- тези ключове ще действат като система за синхронизация

Натисни бутона

ЛСД дисплей

Jumpwire x много

Общата цена на модела достигна около 3 0 $

Стъпка 5: 3D печат

Няколко части като освобождаващия механизъм и контролната кутия са направени с помощта на 3d принтер. Следващият списък съдържа общия брой части и техните спецификации за печат. Всички STL файлове се предоставят в прикрепена по -горе папка, което позволява на човек да направи необходимите промени, ако е необходимо.

Контролна кутия x 1, 20% пълнеж

Водач x 6, 30% пълнеж

Краен стоп x 1, 20% запълване

Завъртащо рамо x 1, 20% пълнене

Завъртащ монтаж x 1, 30% пълнеж

Освободете парче х 1, 20% пълнене

Частите са отпечатани в PLA, тъй като няма особен стрес, действащ върху парчетата. Отпечатването отне около 40 часа.

Стъпка 6: Лазерно изрязване на пътеки

Различните пътища, които проектирахме на fusion 360, бяха експортирани като.dxf файлове и след това изрязани с лазер. Избрахме непрозрачен бял акрил с дебелина 3 мм, за да направим извивките. Човек дори може да го направи от дърво с ръчни инструменти, но е важно да се гарантира, че избраният материал е твърд, тъй като гъвкавостта може да повлияе на това как топките се търкалят.

6 x Брахистохронова крива

2 х стръмна крива

2 x права крива

Стъпка 7: Рязане на дърва

Рамката на модела е изработена от дърво. Избрахме 1 "по 4" бор, тъй като ни останаха някои от предишен проект, въпреки че човек може да използва дърво по свой избор. С помощта на циркуляр и водач изрязваме две парчета дърво с дължина:

48 см, което е дължината на пътеката

31 см, което е височината

Почистихме грубите ръбове, като леко ги шлайфахме върху шлифовъчната машина.

Стъпка 8: Пробиване на дупките

Преди да завиете двете части заедно, маркирайте дебелината на дървесината в единия край на долната част и центрирайте три еднакво отдалечени отвора. Използвахме 5 -милиметров бит, за да създадем пилотен отвор и на двете парчета дърво, и отворихме дупката на долната част, за да позволим главата на винта да се задвижва на едно ниво.

Забележка: Внимавайте да не разцепите вертикалното парче дърво, тъй като ще пробиете в крайното зърно. Използвайте и дълги винтове за дърво, тъй като е важно рамката да не се разклати и горната част поради лоста.

Стъпка 9: Вграждане на радиатори и магнити

Тъй като нишките в 3D печатни части са склонни да се износват с течение на времето, решихме да вградим радиатори. Отворите са леко подразмери, за да позволят на радиатора да се придържа по-добре към пластмасата. Поставихме радиатори M3 над отворите и ги натиснахме с върха на поялник. Топлината разтопява пластмасата, оставяйки зъбите да се вклинят. Уверете се, че те са изравнени с повърхността и са влезли перпендикулярно. Общо има 8 места за вложки с резба: 4 за капака и 4 за монтиране на Arduino Uno.

За да улесним монтажа на синхронизиращия блок, вградихме магнити в кутията, което улеснява отделянето, ако някога са необходими промени. Магнитите трябва да се ориентират в същата посока, преди да бъдат натиснати на място.s

Стъпка 10: Прикрепване на крайните превключватели

Трите крайни превключвателя са прикрепени от едната страна на блока за синхронизация, която е обърната към дъното на пътеките. По този начин, докато топките щракнат върху превключвателите, може да се определи коя топка е достигнала първа и да се покаже времето на LCD дисплея. Запоявайте върху малки ивици тел към клемите и ги закрепете в слотовете с тампон CA лепило, тъй като те не трябва да се разхлабват след непрекъснати удари.

Стъпка 11: LCD дисплей

Капакът на синхронизиращия блок има правоъгълен изрез за LCD екрана и отвор за бутона "старт". Закрепихме дисплея с парчета горещо лепило, докато се изравнява с повърхността на капака и фиксирахме червения бутон с монтажната му гайка.

Стъпка 12: Окабеляване на електрониката

Окабеляването се състои от свързване на различните компоненти в десните щифтове на Arduino. Следвайте схемата на свързване, приложена по -горе, за да настроите кутията.

Стъпка 13: Качване на кода

Кодът Arduino за проекта брахистохрон може да бъде приложен по -долу. В отделението за електроника има два отвора за лесен достъп до програмиращия порт на Arduino и за жака за захранване.

Червеният бутон, който е прикрепен отгоре на кутията, се използва за стартиране на таймера. След като топчетата се търкалят надолу по кривите и задействат крайните превключватели, които са поставени в долната част, времето се записва последователно. След като и трите топки ударят, LCD екранът показва резултатите, подравнени със съответните криви (снимките са приложени по -горе). След като отбележите резултатите в случай, че е необходимо второ четене, просто натиснете отново главния бутон, за да опресните таймера и повторете същия процес.

Стъпка 14: Ръководствата за 3D печат

Ръководствата, които бяха отпечатани 3d, имаха 3 мм материална основа преди началото на носещите стени. Следователно, когато акрилните панели щяха да се плъзнат на място, ще има празнина между панела и дървената рамка, намалявайки устойчивостта на пътеката.

Следователно водачът трябваше да бъде вграден с 3 мм в дървото. Тъй като нямахме рутер, го занесохме в местна работилница и го направихме на фреза. След малко шлифоване отпечатъците прилягат плътно и можем да го закрепим с винтове за дърво отстрани. По -горе е приложен шаблон за поставяне на 6 -те водачи върху дървената рамка.

Стъпка 15: Добавяне на запушалката и синхронизиращия модул

Тъй като модулът за синхронизация беше отделна система, решихме да направим система за бързо монтиране и отделяне с помощта на магнити. По този начин човек може лесно да програмира, може просто да извади устройството. Вместо да правим шаблон за прехвърляне на позицията на магнитите, които трябва да бъдат вградени в дървото, ние просто ги оставяме да се свържат с тези на кутията и след това поставяме малко лепило и поставяме кутията върху парчето дърво. Следите от лепило се прехвърлят върху дървото, което ни позволява бързо да пробием дупките в точните места. Накрая прикрепете 3D отпечатаната запушалка и синхронизиращият блок трябва да приляга плътно, но да може да се отдели с леко издърпване

Стъпка 16: Механизмът за освобождаване

Механизмът за освобождаване е ясен. Използвайте гайка и болт, за да свържете плътно секцията C към въртящото се рамо, като ги направите едно сигурно парче. След това пробийте два отвора в средата на вертикалната дървесина и прикрепете стойката. Плъзнете въртящ се вал и механизмът е готов.

Стъпка 17: Експериментът

След като моделът е готов, можете да направите следните експерименти

Експеримент 1

Внимателно плъзнете акрилните панели на правия път, брахистохроновата крива и стръмната пътека (в този ред за най -добър ефект). След това издърпайте ключалката нагоре и поставете трите топки в горната част на кривата, като се уверите, че са перфектно подравнени една с друга. Дръжте ги плътно на място с ключалката надолу. Накарайте един ученик да пусне топките, а друг да натисне червения бутон, за да стартира системата за синхронизиране. Накрая наблюдавайте как топките се търкалят надолу по пътя и анализирайте резултатите, показани на модула за синхронизиране. Настройването на камера за запис на забавени кадри е още по -вълнуващо, тъй като човек може да види състезанието кадър по кадър.

Експеримент 2

Подобно на предишния експериментален слайд в акрилните панели, но този път всички пътища трябва да бъдат брахистонхронова крива. Внимателно помолете един ученик да задържи трите топки на различни височини този път и да натисне червения бутон, когато топките се освободят. Гледайте изумителния момент, когато топките се подреждат перфектно преди финалната линия и потвърдете наблюденията с резултатите.

Стъпка 18: Заключение

Изработването на брахистохроновия модел е практически начин да се видят магическите начини, по които функционира науката. Експериментите не само са забавни за гледане и ангажират, но и предлагат синтез на аспекти на обучение. Докато предимно проект, предназначен за ученици от гимназията, както на практика, така и на теория, тази демонстрация може лесно да бъде възприета от по -малките деца и може да бъде показана като опростена презентация.

Бихме искали да насърчим хората да правят неща, било то успех или провал, защото в края на деня STEM винаги е забавно! Приятно правене!

Пуснете гласуване в конкурса за класната стая, ако ви харесаха инструкциите и оставете отзивите си в секцията за коментари.

Голяма награда в научния конкурс в класната стая