Gaussian и Parabola за изследване на светодиодни светлинни потоци на експериментална лампа: 6 стъпки

2024 Автор: John Day | [email protected]. Последно модифициран: 2024-01-30 07:50

Здравейте на всички производители и на оживената общност на Instructable.

Този път Merenel Research ще ви предложи чист изследователски проблем и начин да го решите с математика.

Аз самият имах този проблем, докато изчислявах LED потоците на RGB LED лампа, която построих (и която ще науча как да изграждам). След задълбочено търсене онлайн не намерих отговор, така че тук публикувам решението.

ПРОБЛЕМЪТ

Много често във физиката се налага да се занимаваме с криви, които имат формата на гаусово разпределение. Да! Това е кривата с формата на камбана, използвана за изчисляване на вероятността и е донесена до нас от големия математик Гаус.

Кривата на Гаус се използва широко във физически приложения в реалния живот, особено когато трябва да се справим с радиацията, разпространявана от източник или получена от приемник, например:

- излъчването на мощност на радиосигнал (напр. Wi-Fi);

- светлинния поток, излъчван от светодиод;

- отчитането на фотодиод.

В информационния лист на производителя често ни се дава действителната стойност на площта на Гаус, която би била общата излъчваща мощност или светлинния поток в определена част от спектъра (например на светодиод), но става трудно да се изчисли действителната радиация излъчвани в пика на кривата или още по -трудно да се знае припокриващото се излъчване на два близки източника, например, ако осветяваме с повече от светодиод (например син и зелен).

В тази хартия с инструкции ще ви обясня как да сближите Гауса с крива, по -лесна за разбиране: парабола. Ще отговоря на въпроса: колко гаусови криви има в парабола?

СПОЙЛЕР → ОТГОВОРЪТ Е:

Гаусовата област винаги е 1 единица.

Площта на съответната парабола със същата основа и височина е 2.13 пъти по -голяма от относителната Гаусова площ (вижте картината за графичната демонстрация).

Така че гаусът е 46,94% от неговата парабола и тази връзка винаги е вярна.

Тези две числа са свързани по този начин 0.46948 = 1/2.13, това е строгата математическа връзка между гаусова крива и нейната парабола и обратно.

В това ръководство ще ви накарам да откриете тази стъпка по стъпка.

Единственият инструмент, от който се нуждаем, е Geogebra.org, чудесен онлайн математически инструмент за рисуване на диаграми.

Графиката на Geogebra, която направих, за да сравня парабола с гаус, може да бъде намерена на тази връзка.

Тази инструкция е дълга, защото е за демонстрация, но ако трябва бързо да разрешите същия проблем, който имах с LED светлинните потоци, или друго явление с припокриващи се криви на Гаус, моля, просто прескочете електронната таблица, която ще намерите прикрепена на стъпката 5 от това ръководство, което ще улесни живота ви и автоматично ще направи всички изчисления вместо вас.

Надявам се, че харесвате приложната математика, защото тази инструкция е за това.

Стъпка 1: Разбиране на светлината, излъчвана от монохроматичен светодиод

В този анализ ще разгледам поредица от цветни светодиоди, както ясно виждате от тяхната спектърна диаграма (първа снимка), тяхното спектрално разпределение на мощността наистина прилича на гаус, който се сближава по оста x при -33 и +33nm от средната стойност (производителите обикновено дава тази спецификация). Помислете обаче, че представянето на тази диаграма нормализира всички спектри на един захранващ блок, но светодиодите имат различна мощност според това колко ефективно се произвеждат и колко електрически ток (mA) подавате в тях.

Както можете да видите понякога светлинният поток на два светодиода се припокрива в спектъра. Да кажем, че лесно искам да изчисля припокриващата се площ на тези криви, защото в тази област ще има двойно количество мощност и искам да знам колко мощност в лумени (lm) имаме там, ами това не е лесна задача, на която ще се опитаме да отговорим в това ръководство. Проблемът възникна, защото когато изграждах експерименталната лампа, наистина исках да знам колко синият и зеленият спектър се припокриват.

Ще се съсредоточим само върху монохроматични светодиоди, които излъчват в тясна част от спектъра. В диаграмата: ROYAL BLUE, BLUE, GREEN, ORANGE-RED, RED. (Действителната лампа, която изграждам, е RGB)

ПРЕДШЕСТВУВАЩА ФИЗИКА

Нека първо да превъртим назад и да направим малко физическо обяснение в началото.

Всеки светодиод има цвят или по -научно бихме казали, че има дължина на вълната (λ), която го определя и която се измерва в нанометри (nm) и λ = 1/f, където f е честотата на трептене на фотона.

Така че това, което наричаме ЧЕРВЕН, е основно (голям) куп фотони, които се колебаят при 630nm, тези фотони удрят материята и отскачат в очите ни, които действат като рецептори, а след това мозъкът ви обработва цвета на обекта като ЧЕРВЕН; или фотоните биха могли да влязат директно в очите ви и ще видите светодиода, който ги излъчва, светещи в ЧЕРВЕН цвят.

Беше открито, че това, което наричаме светлина, всъщност е само малка част от електромагнитния спектър, между 380nm и 740nm; така че светлината е електромагнитна вълна. Любопитното за тази част от спектъра е, че именно парчето от спектъра по -лесно преминава през вода. Познай какво? Нашите древни предци от първичната супа, където всъщност са във вода и именно във водата първите, по -сложни, живи същества започват да развиват очи. Предлагам ви да гледате видеоклипа на Kurzgesagt, който съм приложил, за да разберете по -добре какво е светлина.

В обобщение светодиодът излъчва светлина, която е определено количество радиометрична мощност (mW) при определена дължина на вълната (nm).

Обикновено, когато имаме работа с видима светлина, не говорим за радиометрична мощност (mW), а за светлинен поток (lm), който е мерна единица, претеглена в отговор на видимата светлина на човешките очи, тя се получава от кандела мерна единица и се измерва в лумени (lm). В тази презентация ще разгледаме светодиодите, излъчвани от лумени, но всичко ще се прилага за mW точно в същата степен.

Във всеки светодиоден лист производителят ще ви предостави следната информация:

Например от този приложен лист с данни виждате, че ако захранвате и двата светодиода със 100mA, имате това:

BLUE е при 480nm и има 11lm светлинен поток;

GREEN е на 530nm и има 35lm светлинен поток.

Това означава, че Гаусовата крива на синьото ще бъде по -висока, ще се увеличи повече, без да се променя по ширината си и ще се колебае около частта, ограничена от синята линия. В тази статия ще обясня как да се изчисли височината на Гаус, която изразява пълната пикова мощност, излъчвана от светодиода, не само мощността, излъчвана в тази част от спектъра, за съжаление тази стойност ще бъде по -ниска. Освен това ще се опитам да приближа припокриващата се част от двата светодиода, за да разбера колко светлинен поток се припокрива, когато имаме работа със светодиоди, които са "съседи" в спектъра.

Измерването на потока от светодиоди е много сложен въпрос, ако искате да научите повече, качих подробна статия от Osram, която обяснява как се правят нещата.

Стъпка 2: Въведение в Парабола

Няма да навлизам в подробности за това какво е парабола, тъй като тя се изучава широко в училище.

Уравнение на парабола може да бъде записано в следната форма:

y = ax^2+bx+c

АРХИМЕД НАМ ПОМАГА

Това, което бих искал да подчертая, е важна геометрична теорема на Архимед. Това, което казва теоремата, е, че площта на парабола, ограничена в правоъгълник, е равна на 2/3 от площта на правоъгълника. На първата снимка с парабола можете да видите, че синята област е 2/3, а розовите области са 1/3 от площта на правоъгълника.

Можем да изчислим параболата и нейното уравнение, знаейки три точки на параболата. В нашия случай ще изчислим върха и знаем пресечните точки с оста x. Например:

СИН LED Vertex (480,?) Y на върха е равен на светлинната мощност, излъчвана при пиковата дължина на вълната. За да го изчислим, ще използваме връзката, която съществува между площта на гаус (действителен поток, излъчван от светодиода) и този на парабола, и ще използваме теоремата на Архимед, за да знаем височината на правоъгълника, който съдържа тази парабола.

x1 (447, 0)

x2 (513, 0)

ПАРАБОЛЕН МОДЕЛ

Гледайки снимката, която качих, можете да видите сложен модел, който да представя с параболи няколко различни светодиодни светлинни потока, но знаем, че тяхното представяне не е точно такова, тъй като прилича повече на гаус.

Въпреки това, с параболи, използвайки математически формули, можем да намерим всички точки на пресичане на няколко параболи и да изчислим пресичащите се области.

В стъпка 5 съм приложил електронна таблица, в която съм поставил всички формули за изчисляване на всички параболи и техните пресичащи се области на монохроматичните светодиоди.

Обикновено основата на гаусовия светодиод е голяма 66 nm, така че ако знаем доминиращата дължина на вълната и приближаваме светодиодното излъчване с парабола, знаем, че относителната парабола ще пресича оста x в λ+33 и λ-33.

Това е модел, който приближава светодиодната обща излъчена светлина с парабола. Но ние знаем, че ако искаме да бъдем точни, това не е точно така, ще трябва да използваме криви на Гаус, което ни води до следващата стъпка.

Стъпка 3: Въведение в гаусовата крива

Гаус е крива, която ще звучи по -сложно от парабола. Той е изобретен от Гаус за тълкуване на грешки. Всъщност тази крива е много полезно да се види вероятностното разпределение на явление. Доколкото се движим наляво или надясно от средната стойност, имаме известно явление, което е по -рядко и както можете да видите от последната картина, тази крива е много добро приближение на реални събития.

Формулата на Гаус е страшната, която виждате като втора картина.

Свойствата на Гаус са:

- това е симетрично отношение към средната стойност;

- x = μ не само съвпадат със средната аритметична стойност, но и със средната стойност и модата;

- той е асимптотичен по оста x от всяка страна;

- намалява за xμ;

- има две точки на прегъване в x = μ-σ;

- площта под кривата е 1 единица (като вероятността всеки x да провери)

σ е стандартното отклонение, колкото по -голямо е числото, толкова по -широка е Гаусовата база (първа снимка). Ако дадена стойност е в частта 3σ, ще знаем, че тя наистина се отдалечава от средната стойност и има по -малка вероятност това да се случи.

В нашия случай, със светодиоди, ние знаем площта на Гаус, която е светлинният поток, даден в листа с данни на производителя при даден пик на дължината на вълната (което е средната стойност).

Стъпка 4: Демонстрация с Geogebra

В този раздел ще ви опиша как да използвате Geogebra, за да демонстрирате, че парабола е 2,19 пъти по -голяма от гаусовата.

Първо трябва да създадете няколко променливи, като щракнете върху плъзгащата команда:

Стандартното отклонение σ = 0,1 (стандартното отклонение определя колко широка е кривата на Гаус, поставих малка стойност, защото исках да я стесня, за да симулирам светодиодно спектрално разпределение на мощността)

Средната стойност е 0, така че Gaussian е изграден по оста y, където е по -лесно да се работи.

Щракнете върху функцията с малки вълни, за да активирате секцията с функции; там, като щракнете върху fx, можете да вмъкнете формулата на Гаус и ще видите изскачаща на екрана хубава висока гаусова крива.

Графично ще видите къде кривата се сближава по оста x, в моя случай в X1 (-0.4; 0) и X2 (+0.4; 0) и където върхът е във V (0; 4).

С тези три точки имате достатъчно информация, за да намерите уравнението на параболата. Ако не искате да правите изчисления на ръка, не се колебайте да използвате този уебсайт или електронната таблица в следващата стъпка.

Използвайте командата function (fx), за да попълните функцията парабола, която току -що открихте:

y = -25x^2 +4

Сега трябва да разберем колко гаусци са в парабола.

Ще трябва да използвате командата function и да вмъкнете командата Integral (или Integrale в моя случай, тъй като използвах италианската версия). Определеният интеграл е математическата операция, която ни позволява да изчислим площта на функция, определена между стойностите до x. Ако не си спомняте какво е определен интеграл, прочетете тук.

a = Интеграл (f, -0.4, +0.4)

Тази формула на Геогебра ще реши определения интеграл между -0.4 и +0.4 на функцията f, гаусовата. Тъй като имаме работа с гаус, неговата площ е 1.

Направете същото с параболата и ще откриете магическото число 2.13. Кой е ключовият номер за всички преобразувания на светлинния поток със светодиоди.

Стъпка 5: Пример от реалния живот със светодиоди: Изчисляване на пика на потока и припокриващите се потоци

СВЕТЯЩ ПОТОК НА ВЪРХА

Изчисляването на действителната височина на разбърканите гаусови криви на разпределението на LED потока, сега, когато открихме коефициента на преобразуване 2.19, е много лесно.

например:

СИНИЯТ LED има 11lm светлинен поток

- преобразуваме този поток от гаусов в параболичен 11 x 2,19 = 24,09

- използваме теоремата на Архимед за изчисляване на относителната правоъгълна площ, която съдържа парабола 24.09 x 3/2 = 36.14

- намираме височината на този правоъгълник, разделящ се за основата на Гауса за СИНИЯ LED, даден в листа с данни или видян на таблицата с данни, обикновено около 66 nm, и това е нашата мощност на върха на 480 nm: 36.14 / 66 = 0,55

ПРЕПЪЛНАЕМИ СВЕТЛИНИ ФЛУСОВИ ОБЛАСТИ

За изчисляване на две припокриващи се лъчения ще обясня с пример със следните два светодиода:

BLUE е при 480nm и има 11lm светлинен поток GREEN е при 530nm и има 35lm светлинен поток

Знаем и виждаме от диаграмата, че и двете гаусови криви се сближават в -33nm и +33nm, следователно знаем, че:

- СИНЯТ пресича оста x в 447nm и 531nm

- ЗЕЛЕНО пресича оста x в 497nm и 563nm

Ясно виждаме, че двете криви се пресичат, тъй като единият край на първата е след началото на другата (531nm> 497nm), така че светлината на тези два светодиода се припокрива в някои точки.

Първо трябва да изчислим уравнението на парабола и за двете. Приложената електронна таблица е там, за да ви помогне при изчисленията, и е вградила формулите за решаване на системата от уравнения за определяне на двете параболи, знаейки точките на пресичане на оста x и върха:

СИНА парабола: y = -0.0004889636025x^2 + 0.4694050584x -112.1247327

ЗЕЛЕНА парабола: y = -0,001555793281x^2 + 1,680256743x - 451,9750618

и в двата случая a> 0 и, така че параболата е правилно насочена с главата надолу.

За да докажете, че тези параболи са правилни, просто попълнете a, b, c във върховия калкулатор на този уебсайт за калкулатор на парабола.

В електронната таблица всички изчисления вече са направени, за да намерят пресечните точки между параболите и да изчислят определения интеграл, за да получат пресичащите се области на тези параболи.

В нашия случай пресечните области на синия и зеления светодиоден спектър са 0.4247.

След като имаме пресичащите се параболи, можем да умножим тази новооснована пресичаща се площ за гаусовия множител 0.4694 и да намерим много близко приближение за това колко мощност светодиодите излъчват общо в този участък от спектъра. За да намерите единичния светодиоден поток, излъчен в този раздел, просто разделете на 2.

Стъпка 6: Изучаването на монохроматичните светодиоди на експерименталната лампа приключи

Е, много ви благодаря, че прочетохте това изследване. Надявам се, че ще ви бъде полезно да разберете дълбоко как светлината се излъчва от лампа.

Изучавах потоците на светодиодите на специална лампа, направена с три вида монохроматични светодиоди.

„Съставките“за направата на тази лампа са:

- 3 LED BLU

- 4 LED ЗЕЛЕНИ

- 3 LED ЧЕРВЕНИ

- 3 резистора за ограничаване на тока в клоните на LED веригата

- 12V 35W захранване

- Релефно акрилно покритие

- OSRAM OT BLE DIM управление (Bluetooth LED контролен блок)

- Алуминиев радиатор

- M5 удебелени и гайки и L скоби

Контролирайте всичко с приложението Casambi от вашия смартфон, можете да включите и затъмните всеки LED канал поотделно.

Изграждането на лампата е много просто:

- прикрепете светодиода към радиатора с двустранна лента;

- запоявайте всички BLU LED последователно с резистор и направете същото с другия цвят за всеки клон на веригата. Според светодиодите, които ще изберете (използвах Lumileds LED), ще трябва да изберете размера на резистора спрямо това колко ток ще подадете в светодиода и към общото напрежение, дадено от захранването от 12V. Ако не знаете как да направите това, предлагам ви да прочетете тази страхотна инструкция за това как да определите размера на резистор, за да ограничите тока на поредица от светодиоди.

-свържете проводниците към всеки канал на Osram OT BLE: целият основен положителен от разклоненията на светодиодите отива към общия (+) и трите негатива на клоните отива съответно към -B (син) -G (зелен) -R (червено).

- Свържете захранването към входа на Osram OT BLE.

Това, което е готино за Osram OT BLE, е, че можете да създавате сценарии и да програмирате LED каналите, както можете да видите в първата част на видеото, аз затъмнявам трите канала, а във втората част на видеото използвам някои предварително направени светлинни сценарии.

ИЗВОДИ

Използвах широко математиката, за да разбера дълбоко как ще се разпространяват потоците на тези лампи.

Искрено се надявам, че сте научили нещо полезно днес и ще направя всичко възможно, за да насоча към повече инструкции за задълбочени приложни изследвания като този.

Изследването е ключът!

Толкова дълго!

Пиетро